MAT 是什么？
MAT 全称 Mathematics Admission Test，是牛津大学数学和计算机相关专业的必须的入学资格专项考试，具体有：
- 数学
- 数学与统计
- 数学与计算机
- 数学与哲学
- 计算机科学
- 计算机科学与哲学
另外，申请帝国理工和华威大学的数学专业也建议参加 MAT 考试。其中，帝国理工凡是名字里数学开头的专业，都要求在10月15日前递交 UCAS 的申请者必须参加 MAT 考试，在10月15日之后递交的申请者则需要在难度丝毫不亚于 MAT 的 STEP 的考试中获得一等或以上的成绩。
华威大学只是纯数学专业的录取标准中会涉及到 MAT 考试，但并不是必须项。A-Level 考生如果可以考到 A*A*A* 或 A*A*AA 或 A*A*A + STEP 这种硬核成绩，没有 MAT 华威也是会照样录取的。但是优秀的 MAT 考分可以降低录取标准。
MAT 考试时长2.5小时，满分100分。 在规定的时间内，所有参加 MAT 考试的学生都必须完成第1大题的十道选择题（每题4分，小计40分）。后面的6个简答题根据不同的申请专业方向完成4题（每题15分，小计60分）。
- 申请牛津数学、数学与统计、数学与哲学专业的考生，完成 2，3，4，5
- 申请牛津数学与计算机专业的考生，完成 2，3，5，6
- 申请牛津计算机科学、计算机与哲学专业的考生，完成 2，5，6，7
- 不申请任何牛津专业，只申请帝国理工和华威的考生，完成 2，3，4，5
这6个大题没有一成不变的套路。大体的说，第2大题通常是一个代数题；第3题是函数题，经常会结合函数图像和微积分来考学生；第4题是一个几何题；第5题根本无法事先预测，完全不按常理出牌，一般考察逻辑思维；第6题会是跟逻辑推断或是数论相关；而最后的第7题近年来的趋势总是跟算法相关的问题。
下图是一个 MAT 历年考题所涉及知识点的归类，由于很多问题其实涉及多个数学分支领域，所以这个分类非常粗略，仅供参考。
MAT 考什么？
牛津大学给出了 MAT 考试的完整大纲，准备备考的同学们可以打开下面的链接查看。
https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/syllabus_1.pdf
这份大纲文件只有不到一页的篇幅，写的非常简略，我们甚至可以直接在这里贴出来。
总体而言，MAT 数学部分考察的知识点甚至不及 A-Level 普通数学。但是大纲简单并不意味着 MAT 考试就会简单。这主要是出于公平的角度考虑，因为世界上仍有教育欠发达地区没有足够的师资，牛津大学确保潜力苗子不会因为有的东西没机会学而处于劣势。
从某种角度来讲，MAT 考察的并不是学生知道多少高阶的数学知识，更多是考察学生利用现有知识解决难题的能力（problem-solving skills）。 MAT 的问题的解答肯定是比较复杂的，考生要能 get 到题干给出的隐晦的提示，需要一点点来自于自己的灵感，并在此基础上用严谨的逻辑推理，一步一步引到最后的结果。
例如 MAT 很喜欢考函数图像的问题。拿到看起来丧心病狂的复合函数，要构建出它的大致图像其实需要做很多小的分析：
- f(x) 在 x\to\pm\infty 时的极限行为？
- f(x) 在 x=0 及其他特殊点的取值？
- f(x) 是否存在零点？
- f(x) 是否存在渐近线（asymptote）？
- f(x) 是否存在极大值、极小值？
- f(x) 在不同区间上的单调性？
- f(x) 是否存在对称性？周期性？
- f(x) 是否可以想象成从熟悉的函数形式得来的某种变换？
胃口较好的读者不妨尝试一下以下的函数图像（均来自 MAT 真题）：
- y = x^3-x^2-x+1 （2011）
- y = (x^2-1)^2(3-x) （2012）
- y = (x^{2n-1}-1)^2 \,\text{ where }\, n \gg 1 （2009）
- y = \frac{1}{4x-x^2-5} （2008）
- y = \log(x^2-2x+2) （2014）
- y = \sin^2\sqrt{x} （2010）
- y = 2^{-x}\sin^2(x^2) （2007）
- y=(x-1)^2 -\cos(\pi x) （2016）
- \cos^2x = \cos^2 y （2015）
- y = \sin^2 x + \sin^4 x + \sin^6 x + \sin^8 x + \cdots （2019）
- x^4 - y^2 = 2y+1 （2013）
- (x^8 + 4yx^6 + 6y^2x^4 + 4y^3x^2 + y^4)^2=1 （2018）
- x^2y^2(x+y)=1 （2009 Specimen）
- \sin y - \sin x = \cos^2 x - \cos^2 y （2019）
MAT 历年考题里，也很喜欢让考生来分析一些奇奇怪怪的方程 f(x)=0 会有多少根的问题。类似的问题还经常会告诉你某个带参数 k 的方程的解的个数，让你反推 k 可能的取值范围；或者给出两条函数曲线，让你找交点的个数。分析这些问题时，可能需要拿出毕生所学的十八般武艺，也许可以很快乐地化成一个二次方程用判别式搞定，也许需要用到换元法来化简方程，也许需要借助函数图像来帮忙，也许需要考虑一下 f(x) 的极值作为突破口，也许可以通过放缩法处理后发现方程压根没有根。
有胃口的同学可以试着寻思下以下的方程会有多少个根（同样都来自于 MAT 真题）：
- x^3 - 300x = 3000 （2019）
- 8^x + 4 = 4^x + 2^{x+2} （2007）
- \log_{x^2+2}(4-5x^2-6x^3) = 2 （2015）
- x2^x = y2^y \, \text{ where } \, x<y （2019）
- \sin^2 x + 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0 \,\text{ where }\, 0\leq x < 2\pi （2010）
- 7\sin x + 2\cos^2x = 5 \,\text{ where }\, 0\leq x < 2\pi （2007）
- \sin^3 x + \cos^2 x = 0 \,\text{ where }\, 0\leq x < 2\pi （2019）
- \sin^8 x + \cos^6 x = 1 \,\text{ where }\, 0\leq x < 2\pi （2011）
- \cos^n x + \cos^{2n}x = 0 \,\text{ where }\,0\leq x \leq 2\pi （2016）
- 2^{\sin^2x} + 2^{\cos^2x} = 2 \,\text{ where }\, 0\leq x < 2\pi （2010）
- \sin\Big( 2\cos(2x) +2 \Big) =0 \,\text{ where }\,0\leq x \leq 2\pi （2009）
- \int_0^x \sin(\sin t)\mathrm{d}t = 0 \,\text{ where }\,0\leq x \leq 2\pi （2012）
其他 MAT 中涉及到的技巧性比较强的操作，包括但不限于对称性的应用，利用几何方法来解决代数问题，针对奇偶性的分类讨论，通过递推关系从简单的情形推理到复杂的情形，等等。
MAT 备考建议
很难定义说 MAT 究竟考察申请者哪方面的能力。在这里我只能说是给备考 MAT 的同学一些建议。
MAT 考试没有公示表，所以常用的基本公式务必牢记于胸。 比如
- 等比数列前n[latex]项和的公式：[latex]S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
- 二项式展开系数：{n \choose r} = \frac{n!}{r!\times(n-r)!}
- 三角函数里的基本恒等式：\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta
- 近似计算定积分的梯形法则公式：\int_a^b y\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2n}\left\{ y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \cdots 2y_{n-1} + y_n\right\}
这些在 MAT 考题中要用到时应该能张手就来。
MAT 考试也不允许使用计算器，所以平时练习时也多锻炼一下自己的计算能力，培养对数字的敏感性。 在这里也不妨来小小考一考读者：
- 2^{10} 是多少？
- \sin \frac{\pi}{3}，\tan\frac{5\pi}{6}，\cos{\frac{3\pi}{4}} 都是多少？
- 化简 x^3 + 6x^2 y + 12xy^2 + 8y^3
- 给出 \log_3{80}，\log_{10} \pi ，\log_2 3 的近似值
MAT 的选择题只要选出正确选项就能拿分，但是在简答题里，评分中挺大的比重是看论证过程交代的是否清楚。大题中常常会要求考生针对一个小问题做出猜想并给出证明，考生们应当尝试用逻辑清晰的语言给出解释，练习时建议多多操练证明的书写过程。
在一些巧妙设计的问题里，出题人经常会带有引导性地先让考生证明几个小结论，这些其实都是出题人给你送出的隐形助攻。 按上海话讲，考生要能“接领子”：做到后面的小问没有思路时，也要多思考可以如何跟前面得出的小结论建立起联系，常常这就是那个难题的突破口。
常见问题解答
备考 MAT 有什么推荐的刷题资源？
最香的当然是 MAT 真题。 在牛津大学数学系的网站上不仅可以下载到最近十余年的真题，还有官方的标准答案。
https://www.ox.ac.uk/admissions/undergraduate/applying-to-oxford/tests/mat
易天教育辅导 MAT 多年的烤羚羊老师编写有几大专题的授课讲义，还有最近几年的真题的全套手写解答，有兴趣的 MAT 党们欢迎前来咨询。
其次 TUMA 和 STEP 数学考试的真题也是很值得看一看。 这两者也是不少大学数学相关专业接受的专项测试，前者全是选择题的题型，后者全是解答题。从难度上来，大致可以列为：STEP > MAT > TUMA，其中 STEP 还分为 I、II、III 三个难度等级。刷 MAT 尚绝吃力的同学可以尝试从 TUMA 开始打怪升级，MAT 刷完还不过瘾的可以找 STEP 继续修炼。下载传送门如下：
https://www.admissionstesting.org/for-test-takers/step/preparing-for-step/
剑桥大学 Jesus College 的数学讲师 Stephen Siklos 为备考 STEP 的考生写过一本非常详尽的教材，精选了75个问题作了详细的解答，每个题后有很有洞见的点评。这本书的电子版在下面的网址可以免费下载。
https://www.openbookpublishers.com/product/1050
这里再推荐给大家两个业界良心网站。一个叫做 Underground Mathematics ，做了非常细致的分类题库。 打开下面的链接，点击右上角导航栏的 Browse，在 Review Questions 的下拉列表里可以找到 Oxford MAT 的分类题库。
https://undergroundmathematics.org/
还有一个叫做 Maths Helper，网站有一个 Oxbridge Page 的专门页面，一站式到位地整合了 MAT、TUMA、STEP 还有其他有用的真题试卷，但只有2016年以前的资源。
http://www.mathshelper.co.uk/oxb.htm
MAT 需要考多少分？
我们拿数据说话。每年牛津大学会给出 MAT 成绩统计，历年的报告可以在以下网址找到。
https://www.ox.ac.uk/admissions/undergraduate/applying-to-oxford/tests/mat
从历年规律来看，MAT 的平均分在50分左右，拿到65分可以大致确保获得面试资格（Short-listing），而最终获得录取的申请者的均分则普遍在70以上。 要从众多申请者中脱颖而出，考分显然是越高越好，因为虽然后续会有一轮重要的面试环节，但决定最终录取与否的是 MAT 笔试和面试的综合表现。这里给出的建议是，有志于牛津数学和计算机的同学，在备考 MAT 时目标应该定在80+。
在报告的数据中，我们也可以挖掘出历年申请牛津数学专业的人数和最终录取数。很容易看到，申请者的数量年年走高，2019年的申请总人数比起2011年已经翻了一番，但是最终录取数多年来没有明显变化，可见竞争愈发激烈。这里也祝有志攀登牛津殿堂的勇者们好运！